УДК 620.171.3, 53.072.11
А.А.ТЕСЛЕНКО, канд. физ.-мат. наук, НТУ "ХПИ"
МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И
ФОТОУПРУГОСТИ.
У
роботі розглядаються основи нової модифікації методу фотопружності і можливості
її модельного дослідження. Суть нової модифікації полягає в поєднанні
можливостей традиційного методу фотопружності і методу кінцевих елементів. Вироблена оцінка впливу
точності пьезооптичних коефіцієнтів на точність
у визначенні напруг в умовах конкретної речовини і схеми вимірювання.
Bases of a new modification of
photoelasticity method and possibility of its model research are examined in
work. Essence of a new modification consists of combination of possibilities of
traditional photoelasticity method and finite-element method. Estimation of
influencing of exactness of elastooptic coefficients on exactness in
determination of tensions in the conditions of particular matter and chart of
measuring is produced.
1. Введение.
В настоящее время наблюдается интенсивное
развитие автоматизации метода фотоупругости. Разрабатываемые методологии и
устройства находят применение, например, при производстве стекол для TFT
мониторов. Имеется два направления развития метода фотоупругости. Первое –
развитие методологии и автоматизации измерений поляризационных параметров,
второе – развитие методов интерпретации измерений. Первое направление
развивается относительно интенсивно, второе представлено в основном
томографическими методами, сориентированными на частные случаи напряженного
состояния.
2.
Актуальность рассматриваемой проблемы. В
предлагаемой работе рассматривается проблема интерпретации измерений. Отличительной
чертой предлагаемого подхода является тот факт, что не делается никаких предположений
о распределении напряжений или симметрии свойств среды. Т.е. все соотношения
записываются для общего случая анизотропной задачи. Работа продолжает
исследование, представленное в [1,2]. В рамках этого подхода результат ищется в
виде решения задачи метода конечных элементов. Это дает возможность учесть
граничные условия и условия равновесия напряжений с помощью метода конечных
элементов (МКЭ). Дальше, в этой статье,
будем называть этот способ решения задачи фотоупругости методом конечных
фотоупругих элементов (МКФЭ). Развитость метода конечных элементов дает в руки
специалистов большой набор мощных и апробированных средств. Однако неясным
остается вопрос об устойчивости метода фотоупругости в этом случае. В работе
[1] устойчивость метода фотоупругости изучалась для случая МКФЭ в условиях
неточно измеренных поляризационных параметров, оптической разности хода 
и оптического параметра изоклины 
. В данной работе изучается устойчивость МКФЭ в условиях
погрешности пьезооптических коэффициентов 
. Аналогичное
исследование проводилось в работах [3,4] и др. для метода наклонного
просвечивания. В этих работах была исследована устойчивость метода для
кристаллов кубической симметрии кристаллической решетки. Неожиданным был тот результат,
что устойчивость задачи фотоупругости имеет анизотропную регулярную составляющую.
Было выяснено, что случайные ошибки в измерениях оптических параметров приводят
к регулярным ошибкам в напряжениях. Этот результат может ставить под сомнение
более ранние исследования напряжений в кристаллах методом фотоупругости, в которых
показана анизотропия напряженного состояния. Из работ [3, 4 …] видно, что такая
анизотропия вполне может быть следствием регулярной ошибки, поскольку имеет
внешнее сходство с анизотропией напряженного состояния, определенного методом
наклонного просвечивания. Предлагаемый метод МКФЭ должен быть также исследован
на устойчивость. Дополнительно можно ожидать наличие чувствительности метода к
способу разбиения на элементы. В данной работе исследования такой
чувствительности не производилось.
3. Метод
фотоупругости и МКЭ. С точки зрения
МКЭ метод конечных фотоупругих элементов - новая модификация метода, в которой
элементы обладают не только упругими, но и пьезооптическими свойствами. Непосредственно
наработки МКЭ переносить в метод фотоупругости нецелесообразно, т.к. МКЭ в теории
упругости твердого деформируемого тела развивался для задач с совместными
деформациями (выполняются дифференциальные условия совместности деформаций
[5]). Главным достоинством метода фотоупругости является его способность
определять остаточные напряжения. Условие совместности деформаций в присутствии
остаточных напряжений не выполняется. В работах [1,2] описываются основы
подхода к поляризационно-оптической томографии с использованием метода конечных
элементов. Подход состоит в учете граничных условий и условий равновесия
напряжений с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Традиционные вариационные
постановки МКЭ содержат это условие и в этом случае неприменимы. В данной
работе использовано условие равенства нулю дивергенции:
,
(1)
где
- вектор силы с координатами
(
,
,
); 
- тензор напряжений. Для любой области внутри тела выполняется
соотношение:
(2)
Разобьем
тело на области (конечные элементы) [6]. Для каждого конечного элемента будет
выполняться условие (2). 
в произвольной точке тела будет представлено интерполяционной
формулой для соответствующего конечного элемента [6].
(3)
где
- функции формы
элемента; 
- искомые величины напряжений в узлах конечных элементов, m- количество узлов в элементе, 
- номер узла в элементе.
В тонкой пластине, без градиента напряжений по ее толщине, для линейного
треугольного элемента соотношение (2) будет записано в виде:
(4)
или
(5)
- функции формы элемента [3]:
- коэффициенты
линейного разложения функции формы, D -
площадь элемента. Условие равновесия для одного элемента окончательно примет
вид
(6)
Узловые
напряжения 
для всех узлов могут
определяться решением системы уравнений (6), записанных для всех элементов и
уравнений фотоупругости
, (7)
определенных
для направления 
в узле 
. Уравнения (7) представляют собой уравнения, связывающие напряжения
и измеряемые параметры описанные, например, в [3]. В формуле (7):
- оптическая разность хода; 
- оптический параметр
угла изоклины; 
- коэффициенты, являющиеся функцией пьезооптических коэффициентов,
показателя преломления, толщины просвечиваемого слоя, ориентации направления
просвечивания и ориентации системы координат, в которой определяются
напряжения. Аналогично получаются соотношения
для квадратичного элемента. Решением систем линейных уравнений (6,7) будем
получать искомые узловые напряжения
.
4. Численный
эксперимент. Если сравнить , полученные решением системы уравнений (6,7) (метод МКФЭ), с
решением системы уравнений, состоящей только из уравнений (7) (метод наклонного
просвечивания), даже с избыточным числом измерений, то МКФЭ обнаруживает
большую устойчивость. В работе [1] был осуществлен простейший имитационный
эксперимент, доказывающий этот факт в частном случае напряженного состояния и
нормально распределенной ошибкой в измеряемых параметрах. В данной работе
исследуется влияние ошибки, связанной с погрешностью пьезооптических
коэффициентов. В [1] исследовалась относительно сложная модель напряжений, что
не способствовало пониманию результатов. В подобных численных экспериментах
применение сложнонапряженной модели на данном этапе проводимых работ ничем не
оправдано. Логичнее взять для модельного исследования равномерно напряженное
тело. В этом случае более наглядны будут отклонения определенных методом МКФЭ
напряжений от исходных модельных напряжений. Конкретно, в данной работе был
задан чистый сдвиг, равномерно распределенный по квадратной пластине с
размерами 10х10х1см. Величина сдвигового напряжения 
=1Па. Две другие компоненты 
и 
были заданы нулевыми. Исходя из заданного напряжения,
определялись измеряемые параметры: - оптическая разность
хода и 
- оптический
параметр угла изоклины. Кристаллографические плоскости считались направленными
параллельно граням пластины. Константы среды были выбраны соответствующие
кристаллу LiF. К пьезооптическим
коэффициентам в каждом месте
промоделированного измерения (в данной работе эти места совпадают с узлами элементов)
добавлялась разная случайная нормально распределенная ошибка, имеющая
среднеквадратическое отклонение 0.1 брюстера (1 брюстер = 10-12 Па-1). Далее по алгоритму эти величины участвовали в
формировании коэффициентов 
уравнений (7). Для
каждой точки, где расположен узел, было сформировано два уравнения (7),
соответствующих перпендикулярному и наклонному просвечиванию пластины. Наклон
производился в кристаллографической плоскости и был равен 27 градусам. Как и в
работе [1] имеется ввиду, что просвечивание производится монохроматическим
светом с длиной волны 640нм и для оценки погрешности используется следующая
модификация относительной погрешности 
, где x - исследуемое значение, xT- точное значение, max - максимальное по модулю значение. Результаты
приводятся в виде теневых картин, на которых численные значения величин
увеличиваются от темного к светлому.
Разбиение пластины производилось на прямоугольные четырехузловые
изопараметрические элементы (10x10). Элементы
имеют своими узловыми значениями независимые переменные .
5.
Обсуждение результатов. При указанном
разбиении, МКФЭ дает распределение
, показанное на рис.1
.
Рис. 1
Рис. 2
Для
сравнения на рис.2 приведено распределение, полученное методом наклонного
просвечивания. Количественное отличие имеется. Для МКФЭ максимум - 4.46, дисперсия этой
величины – 0.00973. Для метода наклонного просвечивания максимум - 29.625, дисперсия
этой величины – 0.123305.
Эти результаты показывают точность определения
ненулевой компоненты напряжений . В этой же модели 
Па. Картину распределения относительной ошибки 
, индуцированной ошибкой пьезооптических коэффициентов,
показывают рисунки 3 и 4. На рисунке 3 показано распределение для МКФЭ. Максимум - 11.188, дисперсия
этой величины – 0.291580. На рисунке 4 – для метода наклонного просвечивания. Максимум - 11.188, дисперсия –
0.649646.
Для МКФЭ заметна малая величина относительной ошибки
на границе пластины по сравнению с методом наклонного просвечивания. Это
связано с влиянием граничных условий на результирующую картину распределения
относительной ошибки в напряжениях. Здесь мы имеем два конкурирующих процесса:
с одной стороны, условия равновесия «подправляют» результат, «опираясь» на
граничные условия, с другой стороны, в центральных областях пластины в условиях
равновесия участвуют определенные с ошибкой коэффициенты уравнений. Численные
эксперименты показывают, что в среднем относительная ошибка меньше в МКФЭ по
сравнению с методом наклонного просвечивания во всех областях исследуемого
тела.
Рис. 3
Рис. 4
6. Выводы. Учет граничных условий приводит к малым величинам ошибки на границе плоского тела. Применение МКФЭ обеспечивает значительное понижение уровня относительной ошибки во всех областях, включая центральные. Численные результаты говорят об уменьшении максимумов и дисперсии ошибки. Из этих результатов видно, что максимальные ошибки отличаются значительно меньше, чем дисперсии. Это означает, что учет условий равновесия и граничных условий в среднем значительно улучшают результат. Однако, существуют условия, при которых такое улучшение относительно невелико. Этот факт требует дополнительного исследования.
Список
литературы: 1. Тесленко А.А. / Заводская лаборатория 2. 1998. Т.64. №8. С.42-44. 2. Гаврилюк В.П., Гринев Б.В., Каплан М.С., Тесленко А.А.,
Тихонова Е.В. / Функциональные
материалы 2. 1995. №4. С.543. 3. Тесленко А.А. Развитие метода фотоупругости и его применение к
исследованию остаточных напряжений в монокристаллах. Автореф. дис. канд.
физ.-мат. наук.- Харьков. 1991.- 22с. 4. Тесленко А.А.,
Каплан М.С., Тиман Б.Л. и др.
/ Заводская лаборатория. 1993. Т.59. №2.
С.64-66. 5. Васидзу К. /В
кн.:Вариационные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Мир, 1987.
С.27. 6. Еременко С.Ю. / В кн.: Методы конечных элементов в механике
деформируемых тел.- Харьков: Основа, 1991. С.9.
Поступила в
редколлегию 16.08.05
